നിങ്ങളിൽ മിക്കവരും FB അംഗങ്ങളായിരിക്കുമല്ലോ. എന്നാലൊരു ചോദ്യം. അനു, വിനു, ടിനു, മനു, സൈനു എന്നിവർ FBയിൽ അംഗങ്ങളാണ്. അവരുടെ സുഹൃത്ബന്ധങ്ങളാണ് താഴെ കൊടുത്തിരിക്കുന്നത്.
അനുവിന്റെ സുഹൃത്തുക്കളാണ് വിനുവും ടിനുവും.
വിനുവിന്റെ സുഹൃത്തുക്കളാണ് അനുവും മനുവും സൈനുവും.
ടിനുവിന് അനു മാത്രമേ സുഹൃത്തായുള്ളൂ.
മനുവിന്റെ സുഹൃത്തുക്കളാണ് വിനുവും സൈനുവും.
സൈനുവിന്റെ സുഹൃത്തുക്കളാണ് വിനുവും മനുവും.
ഒരാൾ മറ്റൊരാളുടെ സുഹൃത്താണെങ്കിൽ തിരിച്ചും അങ്ങനെയാണല്ലോ? ഈ സുഹൃത്ബന്ധങ്ങൾ എളുപ്പത്തിൽ മനസ്സിലാക്കാൻ നമുക്കൊരു ചിത്രം വരച്ചാലോ? ഓരോ കുട്ടിയേയും നമുക്കൊരു ശീർഷമാക്കി വരയ്ക്കാം. രണ്ടുപേർ തമ്മിലുള്ള സുഹൃത്ബന്ധം ഒരു വശമായും. താഴെയുള്ള ചിത്രം കാണൂ.
ഇനി നമുക്ക് ഓരോരുത്തർക്കുമുള്ള സുഹൃത്തുക്കളുടെ എണ്ണം കൂട്ടിനോക്കാം. അനുവിന് 2 സുഹൃത്തുക്കൾ. വിനുവിന് 3. ടിനുവിന് 1. മനുവിന് 2. സൈനുവിനും 2. മൊത്തം 10. ഇനി എത്ര സുഹൃത്ബന്ധങ്ങളുണ്ടെന്ന് നോക്കാം. ഒരു വശമാണല്ലോ ഒരു സുഹൃത്ബന്ധം. അതിനാൽ മൊത്തം 5 സുഹൃത്ബന്ധങ്ങളുണ്ട്. ഓരോരുത്തരുടെയും സുഹൃത്തുക്കളുടെ എണ്ണത്തിന്റെ തുകയും മൊത്തം സുഹൃത്ബന്ധങ്ങളുടെ എണ്ണവും തമ്മിലെന്തെങ്കിലും ബന്ധമുണ്ടോ? സുഹൃത്തുക്കളുടെ എണ്ണത്തിന്റെ തുക 10. മൊത്തം സുഹൃത്ബന്ധങ്ങളുടെ എണ്ണം 5. 5ന്റെ ഇരട്ടിയാണല്ലോ 10. ഇത് യാദൃശ്ചികമാണോ? നമുക്ക് നോക്കാം.
മുകളിലത്തെ ചോദ്യം ആരേഖ ശാസ്ത്രത്തിന്റെ വാക്കുകളിൽ: ഒരു ആരേഖത്തിലെ ശീർഷമാനങ്ങളുടെ തുകയും വശങ്ങളുടെ എണ്ണവും തമ്മിലെന്തെങ്കിലും ബന്ധമുണ്ടോ? ഒരു ശീർഷത്തിന്റെ മാനം എന്നത് അതിനോടു ചേർന്ന വശങ്ങളുടെ എണ്ണമാണെന്ന് കൂട്ടുകാർക്ക് ഓർമയുണ്ടല്ലോ? മുകളിൽ നമ്മൾ കണ്ടതനുസരിച്ച് ശീർഷമാനങ്ങളുടെ തുക വശങ്ങളുടെ എണ്ണത്തിന്റെ ഇരട്ടിയാണ്. ഇത് യാദൃശ്ചികമല്ല. ഈ ഒരു സിദ്ധാന്തമാണ് ആരേഖ ശാസ്ത്രത്തിലെ ഏറ്റവും ലളിതവും, പ്രസിദ്ധവും, അടിസ്ഥാനപരവുമായ 'വശ ശീർഷമാന സിദ്ധാന്തം'.
വശ ശീർഷമാന സിദ്ധാന്തം (Handshaking Lemma): ഒരു ആരേഖത്തിലെ ശീർഷമാനങ്ങളുടെ തുക വശങ്ങളുടെ എണ്ണത്തിന്റെ ഇരട്ടിയായിരിക്കും.
വശ ശീർഷമാന സിദ്ധാന്തം എങ്ങനെ തെളിയിക്കാം? നമുക്ക് ഒരു ആരേഖത്തിലെ ശീർഷമാനങ്ങളുടെ തുക കണ്ടു പിടിക്കാം. Aയും Bയും രണ്ടു ശീർഷങ്ങളും അവ തമ്മിൽ ഒരു വശവുമുണ്ടെങ്കിൽ ആ വശം Aയുടെ ശീർഷമാനത്തിലും Bയുടെ ശീർഷമാനത്തിലും ഓരോന്നുവീതം സംഭാവന ചെയ്യുന്നുണ്ടല്ലോ? അതായത് ഓരോ വശവും ശീർഷമാനങ്ങളുടെ എണ്ണത്തിന്റെ തുകയിൽ 2 സംഭാവന ചെയ്യുന്നു. അതുകൊണ്ട് ശീർഷമാനങ്ങളുടെ തുക വശങ്ങളുടെ എണ്ണത്തിന്റെ ഇരട്ടിയായിരിക്കും.
കുറിപ്പ്: വശ ശീർഷമാന സിദ്ധാന്തത്തിന് Handshaking Lemma എന്ന പേര് എങ്ങനെ വന്നെന്ന് കൂട്ടുകാർ ചിന്തിക്കുന്നുണ്ടാകും. വശ ശീർഷമാന സിദ്ധാന്തം മറ്റൊരു രീതിയിലും പ്രസ്താവിക്കാം. ഒരു ചടങ്ങിൽ പങ്കെടുക്കുന്നവരെ അവർ എത്ര പേർക്ക് കൈ കൊടുക്കുന്നു എന്നതിനെ അടിസ്ഥാനമാക്കി രണ്ടായ് തരം തിരിക്കാം - ഒറ്റയും ഇരട്ടയും. അതായത്, ഒരാൾ കൈ കൊടുത്തവരുടെ എണ്ണം ഒറ്റ സംഖ്യ ആണെങ്കിൽ ആദ്യത്തെ കൂട്ടത്തിലും ഇരട്ട സംഖ്യയാണെങ്കിൽ രണ്ടാമത്തെ കൂട്ടത്തിലും. ഇതിൽ രണ്ടാമത്തെ കൂട്ടത്തിലുള്ള ആളുകളുടെ എണ്ണം ഇരട്ട സംഖ്യയായിരിക്കുമെന്നതാണ് വശ ശീർഷമാന സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ മറ്റൊരു രീതിയിലുള്ള പ്രസ്താവന. അതെങ്ങനെ ശരിയാകുമെന്ന് ചിന്തിച്ചു നോക്കൂ.
അനുവിന്റെ സുഹൃത്തുക്കളാണ് വിനുവും ടിനുവും.
വിനുവിന്റെ സുഹൃത്തുക്കളാണ് അനുവും മനുവും സൈനുവും.
ടിനുവിന് അനു മാത്രമേ സുഹൃത്തായുള്ളൂ.
മനുവിന്റെ സുഹൃത്തുക്കളാണ് വിനുവും സൈനുവും.
സൈനുവിന്റെ സുഹൃത്തുക്കളാണ് വിനുവും മനുവും.
ഒരാൾ മറ്റൊരാളുടെ സുഹൃത്താണെങ്കിൽ തിരിച്ചും അങ്ങനെയാണല്ലോ? ഈ സുഹൃത്ബന്ധങ്ങൾ എളുപ്പത്തിൽ മനസ്സിലാക്കാൻ നമുക്കൊരു ചിത്രം വരച്ചാലോ? ഓരോ കുട്ടിയേയും നമുക്കൊരു ശീർഷമാക്കി വരയ്ക്കാം. രണ്ടുപേർ തമ്മിലുള്ള സുഹൃത്ബന്ധം ഒരു വശമായും. താഴെയുള്ള ചിത്രം കാണൂ.
മുകളിലത്തെ ചോദ്യം ആരേഖ ശാസ്ത്രത്തിന്റെ വാക്കുകളിൽ: ഒരു ആരേഖത്തിലെ ശീർഷമാനങ്ങളുടെ തുകയും വശങ്ങളുടെ എണ്ണവും തമ്മിലെന്തെങ്കിലും ബന്ധമുണ്ടോ? ഒരു ശീർഷത്തിന്റെ മാനം എന്നത് അതിനോടു ചേർന്ന വശങ്ങളുടെ എണ്ണമാണെന്ന് കൂട്ടുകാർക്ക് ഓർമയുണ്ടല്ലോ? മുകളിൽ നമ്മൾ കണ്ടതനുസരിച്ച് ശീർഷമാനങ്ങളുടെ തുക വശങ്ങളുടെ എണ്ണത്തിന്റെ ഇരട്ടിയാണ്. ഇത് യാദൃശ്ചികമല്ല. ഈ ഒരു സിദ്ധാന്തമാണ് ആരേഖ ശാസ്ത്രത്തിലെ ഏറ്റവും ലളിതവും, പ്രസിദ്ധവും, അടിസ്ഥാനപരവുമായ 'വശ ശീർഷമാന സിദ്ധാന്തം'.
വശ ശീർഷമാന സിദ്ധാന്തം (Handshaking Lemma): ഒരു ആരേഖത്തിലെ ശീർഷമാനങ്ങളുടെ തുക വശങ്ങളുടെ എണ്ണത്തിന്റെ ഇരട്ടിയായിരിക്കും.
വശ ശീർഷമാന സിദ്ധാന്തം എങ്ങനെ തെളിയിക്കാം? നമുക്ക് ഒരു ആരേഖത്തിലെ ശീർഷമാനങ്ങളുടെ തുക കണ്ടു പിടിക്കാം. Aയും Bയും രണ്ടു ശീർഷങ്ങളും അവ തമ്മിൽ ഒരു വശവുമുണ്ടെങ്കിൽ ആ വശം Aയുടെ ശീർഷമാനത്തിലും Bയുടെ ശീർഷമാനത്തിലും ഓരോന്നുവീതം സംഭാവന ചെയ്യുന്നുണ്ടല്ലോ? അതായത് ഓരോ വശവും ശീർഷമാനങ്ങളുടെ എണ്ണത്തിന്റെ തുകയിൽ 2 സംഭാവന ചെയ്യുന്നു. അതുകൊണ്ട് ശീർഷമാനങ്ങളുടെ തുക വശങ്ങളുടെ എണ്ണത്തിന്റെ ഇരട്ടിയായിരിക്കും.
കുറിപ്പ്: വശ ശീർഷമാന സിദ്ധാന്തത്തിന് Handshaking Lemma എന്ന പേര് എങ്ങനെ വന്നെന്ന് കൂട്ടുകാർ ചിന്തിക്കുന്നുണ്ടാകും. വശ ശീർഷമാന സിദ്ധാന്തം മറ്റൊരു രീതിയിലും പ്രസ്താവിക്കാം. ഒരു ചടങ്ങിൽ പങ്കെടുക്കുന്നവരെ അവർ എത്ര പേർക്ക് കൈ കൊടുക്കുന്നു എന്നതിനെ അടിസ്ഥാനമാക്കി രണ്ടായ് തരം തിരിക്കാം - ഒറ്റയും ഇരട്ടയും. അതായത്, ഒരാൾ കൈ കൊടുത്തവരുടെ എണ്ണം ഒറ്റ സംഖ്യ ആണെങ്കിൽ ആദ്യത്തെ കൂട്ടത്തിലും ഇരട്ട സംഖ്യയാണെങ്കിൽ രണ്ടാമത്തെ കൂട്ടത്തിലും. ഇതിൽ രണ്ടാമത്തെ കൂട്ടത്തിലുള്ള ആളുകളുടെ എണ്ണം ഇരട്ട സംഖ്യയായിരിക്കുമെന്നതാണ് വശ ശീർഷമാന സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ മറ്റൊരു രീതിയിലുള്ള പ്രസ്താവന. അതെങ്ങനെ ശരിയാകുമെന്ന് ചിന്തിച്ചു നോക്കൂ.
അഭിപ്രായങ്ങളൊന്നുമില്ല:
ഒരു അഭിപ്രായം പോസ്റ്റ് ചെയ്യൂ